お戒名の御布施以外に、何か渡したほうがいいですか？直接聞くのは失礼にあたりますか？

よくご準備されるものに、「御車代」と「御膳料」があります。
御車代は、ご葬儀の際に足を運んでいただくことに対する御礼としてお渡しします。近郊であれば、一日あたり1万円程度が相場といわれています。
御膳料は、お通夜やご葬儀の際にお食事を共にされない場合にご準備します。こちらは一日あたり5千円が相場です。お食事を共にされる場合には、ご準備の必要はありません。
その他、菩提寺様によっては、様々な決まりがある場合もありますので、お寺様に直接お聞きされるのがよいと思います。